neizod's speculation

insufficient data for meaningful answer

ทำ Recursion บนการ Integral

Thursday, September 13, 2012, 02:24 PM

ฟังก์ชัน factorial นั้นมีนิยามง่ายๆ ตรงไปตรงมาคือ ผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ $1$ ไปจนถึง $n$

factorial n = product [1..n]

ซึ่งถ้าสังเกตดูซักหน่อย จะพบว่ามันสามารถเขียนนิยามเป็น recursion ได้

factorial 1 = 1
factorial n = n * factorial (n - 1)

ตอนนี้เราอาจเพิ่มนิยามที่ว่า $0! = 1$ เพื่อความสะดวกในการกระจายพจน์สำหรับคำนวณความน่าจะเป็น

แต่ทั้งหมดนี้จะมีปัญหาอยู่อย่างนึง ตรงที่ทุกอย่างเป็น discrete math หมดเลย นั่นคือเราไม่สามารถหาอะไรอย่าง $0.5!$ ได้

ถ้าดูจากที่มาและการใช้งานของมัน (ส่วนมากเป็นเรื่องความน่าจะเป็นนั่นแหละ) ก็อาจนับว่าไม่มีปัญหา แต่สำหรับ pure math แล้ว มันก็น่าจะมีอะไรซักอย่างมาตอบคำถามตรงนี้ได้นะ


โชคดี (?) ที่เรามีเลขมหัศจรรย์อย่าง $e$ ซึ่งมีสมบัติประหลาดว่า

ดูๆ ไปแล้ว มันก็คล้ายกับ fixed-point combinator ที่เคยพูดไว้ในตอนก่อนๆ เพียงแต่เปลี่ยนจาก function call เป็นการ diff-integral แทน โดยมี terminate point ที่

นี่ทำให้เราสามารถเขียน recursion ในรูปของ integral ได้ เช่น

ลองดูสมบัติของมันโดยทำการ integral เข้าไป จะได้ว่า

ดังนั้น จะเห็นว่า

ซึ่งก็คือ


ถึงตอนนี้ก็คงตอบคำถามได้แล้วว่า $0.5!$ นั้น สามารถหาค่าได้จาก

ตอนพยายามหาค่าของ $\Gamma(0.5)$ ต้องใช้ความรู้เรื่อง double integral และการแปลงระนาบเข้าช่วย ถ้ายังมีพลังลุยต่อวิดีโอนี้น่าจะช่วยอธิบายเพิ่มได้

ข้อดีของการเขียนในรูป integral นี่มีอีกอย่าง คือถ้ารู้สึกว่าพิสูจน์ห่าค่าตรงๆ แบบนี้มันยากไป จะเลี่ยงไปใช้ Riemann integral เพื่อประมาณค่าแทนก็ย่อมได้ครับ