neizod's speculation

insufficient data for meaningful answer

$1000^{1000}$ กับ $1001^{999}$ อะไรมากกว่ากัน?

Tuesday, September 18, 2012, 12:18 PM

สืบเนื่องจาก blog ตอนที่แล้ว มีหลายท่านท้วงเข้ามาว่าโจทย์ผิดหรือเปล่า ซึ่งผมได้ไปเช็คกับคำถามอีกรอบแล้วก็พบว่า โจทย์ที่ได้รับมานั้นไม่ผิดจริงๆ แต่ก็น่าสงสัยอย่างมากว่าคนตั้งโจทย์นั่นแหละที่เขียนเลขตกหล่นไปเอง

จริงๆ ตอนก่อนก็แอบเกรียนไปหน่อย คือรู้แหละว่าตั้งใจจะให้พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ งั้นมาไถ่บาปกับคำถามที่ว่า $1000^{1000}$ กับ $1001^{999}$ (เวอร์ชั่นแก้คำผิดแล้ว) อะไรมากกว่ากันอีกรอบดีกว่า ;)


ก่อนอื่น สังเกตว่า

หรือพูดให้เข้าใจง่ายก็คือ เรามี $1000^{999}$ อยู่ 1000 พจน์นั่นเอง

ต่อมาเราต้องการจัดรูปของ $1001^{999}$ ให้กลายเป็น $1000^{999}$ ให้ได้ ซึ่งก็ง่ายๆ โดนใช้การกระจายทวินามเข้ามาช่วย

จะเห็นว่า พอกระจาย $1001^{999}$ ออกมาแล้ว จะยังคงมี 1000 พจน์เช่นกัน (index ไล่จาก $0$ จนถึง $999$) มันจึงสามารถนำไปจับคู่กับ $1000\times1000^{999}$ ข้างบนได้ ดังนี้

จะเห็นว่า สิ่งที่ต้องการตรวจสอบคือ $1000^i$ กับ $C(999, i)$ อะไรมากกว่ากัน

จาก

จะเห็นว่า $P(n,r)$ มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ $C(n,r)$ เสมอ

ถึงตรงนี้ก็เห็นชัดแล้วว่า

ดังนั้น

เพราะฉะนั้น

แต่เนื่องจาก มีบาง $i$ ที่ $1000^i$ ที่มีค่ามากกว่า $C(999,i)$ ดังนั้น

จบการพิสูจน์ครับ