neizod's speculation

insufficient data for meaningful answer

ลำดับ Farey และ วงกลม Ford

Monday, February 25, 2013, 06:44 PM

ปีที่แล้วเล่น Project Euler ไปได้หลายข้อ แล้วก็สะดุดตากับข้อที่น่าสนใจ เลยเอามาขยายผลต่อจนได้เป็นเรื่องนี้ขึ้นมา

อธิบายสั้นๆ คือลำดับ Farey เป็นลำดับของเศษส่วนอย่างต่ำตั้งแต่ $\frac{0}{1}$ ไปจนถึง $\frac{1}{1}$ เพราะฉะนั้นตัวเลขอย่าง $\frac{2}{4}$ จึงไม่นับ (หรือถ้าจะนับ ก็ทำให้มันเป็น $\frac{1}{2}$ ก่อน)

อย่างไรก็ดี ถ้านิยามอย่างนี้เราจะมีปัญหาว่าลำดับ Farey มันดันเป็นลำดับอนันต์ซะหนิ ดังนั้นเลยเพิ่มข้อจำกัดไปว่า ลำดับ Farey อันดับ $n$ จะบรรจุเศษส่วนอย่างต่ำ ที่ตัวส่วนมีค่าน้อยกว่าเท่ากับ $n$ เท่านั้น

พอมันเป็นลำดับจำกัดแล้ว ก็สามารถเพิ่มข้อกำหนดสุดท้ายได้ว่า สมาชิกแต่ละตัวในลำดับนี้ ต้องเรียงค่าจากน้อยไปมากด้วย

ส่วนวงกลม Ford ก็เป็นวงกลมที่นำเอาลำดับ Farey ไปวาดแสดงผลได้อย่างสวยงาม ;)

ไม่ต้องกลัวว่าเป็นภาษาคณิตศาสตร์แล้วจะเข้าใจยาก เพราะมีโปรแกรมที่เขียนด้วย Python ให้ไปแกะโค้ดเล่นกันด้วย

ปล. blog ตอนนี้ เขียนเป็นพิเศษให้ @flurrywong @FordAntiTrust ฮะ <3