neizod's speculation

insufficient data for meaningful answer

ตกท้องช้าง ฟิสิกส์ใกล้ตัวที่หลายคนมองข้าม

Saturday, September 1, 2007, 07:18 PM

ท่องเว็บมาได้นานพอสมควร
เห็นว่าไม่ค่อยมีใครเขียนเรื่องแนวนี้
ก็รู้สึกน่าเสียดายเหมือนกันนะครับ

เลยคิดว่า ถ้าเราไม่ลงมือเขียนเอง
ไม่ต้องรอให้คนอื่นมาเขียนให้อ่าน
แม้จะผิดบ้างถูกบ้าง แต่ก็ยังดี

คิดได้ก็งัดเอาความรู้ที่ผมเคยผจญภัย
เอามาเขียนลงให้ทุกๆ คนอ่านกันครับ
บางเรื่องก็ง่าย บางเรื่องก็ยาก
จะพยายามเขียนให้อ่านรู้เรื่องนะครับ ^^”

ยังไงก็ขอฝากผลงานใหม่ด้วยนะครับ
(เฮ้ย! ของเก่าก็เลิกดองซักทีเซ่)

ต้นตอของเรื่องนี้เกิดจากสายไฟครับ
สายที่ถูกแขวนระหว่างเสาไฟนั่นแหละ
ปรกติผมก็ไม่ได้สนใจมันหรอกครับ
เพราะมันขึงไว้เกือบตึง ไม่สะดุดตา

แต่วันนั้นช่างไฟเขามาขึงสายไฟใหม่
ผมก็ดูเขาขึงสาย แล้วก็คิดเรื่อยเปื่อย
อึ่ม ทำไมมันย้อยเป็นรูปสวยงามจัง
เหมือนกันรูปพาราโบลาที่เคยเรียนเลย

(ตอนที่เห็นนั้นผมก็ไม่รู้หรอกครับ
ว่ารูปร่างเชือกนี้มีชื่อเรียกอย่างไร
เลยหาบทพิสูจน์เอาในเน็ตไม่เจอ
กว่าจะรู้ก็หลังจากนั้นได้ปีนึงเลย)

พอว่างๆ ก็ลองเขียนๆ สมการเล่น
ได้ว่ารูปร่างเส้นเชือกที่ตกท้องช้าง
แปรผันกับการปริพันธ์ของสมการ
ความแตกต่างของมวลซ้ายกับขวา

ซึ่งสมการความแตกต่างของมวลเชือก
โดยทั่วไปนั้น เป็นสมการเส้นตรง
พอปริพันธ์ ก็จะได้สมการกำลังสอง

สมการรูปร่างเส้นเชือกที่ผมคิดไว้

(สมการกำลังกสองธรรมด้าธรรมดา)

หลังจากกำหนดสมการเชือกได้แล้ว
ก็ทำการทดลองอีกนิดๆ หน่อยๆ
ผลการทดลองคือตรงเป็นส่วนใหญ่
จะคลาดเคลื่อนมากๆ ตรงท้องเชือก
ซึ่งผมก็ไม่ได้เอะใจอะไรมากนัก

แต่ก็ลองเอาไปถามดูในวิชาการ.คอม
ก็ได้พี่ GFK ช่วยคอมเมนต์และแก้ไขให้
จึงได้รู้ว่าที่จริง มันไม่ใช่รูปพาราโบลา
แต่เป็นคอสไฮเปอร์โบลาต่างหาก

จะพิสูจน์อย่างเร็วและย่อนะครับ
อ่านไม่รู้เรื่องก็อย่าโทษกันหละ…
(ผมยังอ่านไม่รู้เรื่องเลย)

สัญลักษณ์
$\mu$ คือ มวลของเชือกต่อหน่วยความยาว (ตามแนวเชือก)
$T$ คือ แรงตึงเชือกที่ จุด $(x,y)$ ใดๆ บนเส้นเชือก
$T_0$ คือ แรงตึงเชือกที่ จุด $(0,0)$
$s$ คือ ความยาวเชือกที่เริ่มวัดจากจุด $(0,0)$ ไปยังจุด $(x,y)$ บนเส้นเชือก

ก่อนอื่น จินตนาการรูปเชือกที่โดนแขวนนะครับ
(เพราะผมจะไม่วาดรูปให้ อิอิ)

สมดุลในแกน Y $(\sum F_y = 0)$
$(T + \Delta T) \sin(\theta + \Delta\theta) = T \sin\theta + \mu g \Delta s$

คูณกระจายและแตกฟังก์ชันไซน์
แล้วจึงค่อยให้ $\Delta\theta$ มีค่าน้อยๆ
$\cos\Delta\theta \approx 1$ และ $\sin\Delta\theta \approx \Delta\theta$
สมการนี้ก็จะกลายเป็น

เนื่องจาก $(\Delta T)(\Delta\theta)\cos\theta$ มีค่าน้อยมาก
เมื่อเทียบกับ $T(\Delta\theta)\cos\theta$ และ $(\Delta T)\sin\theta)$
จึงไม่ต้องไปสนพจน์ $(\Delta T)(\Delta\theta)\cos\theta$
สมการจึงเหลือแค่

จับ $\Delta\theta$ มาหารทั้งสมการ
แล้วเทคลิมิต $\Delta\theta \to 0$ ก็จะได้

ชี้แจงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์อนุพันธ์
ผมชอบเขียนให้ $d/d\theta$ ชิดกันอย่างนี้
แล้วค่อยใส่ฟังก์ชันที่จะหาอนุพันธ์ด้านหลัง
ก็คือเขียนแบบนี้ $d/d\theta(\dots)$
(ไม่ชอบเขียนแบบนี้ $d\dots/d\theta$)
แต่ถ้ามีตัวแปรเดียวก็เขียน $ds/d\theta$ ครับ
หวังว่าคงไม่งงไปซะก่อนนะ…

แต่ $T\cos\theta = T_0$
และ $\tan\theta = dy/dx$
จึงได้ว่า

ได้แล้วก็เก็บไว้ก่อนนะ…

ต่อมาก็พิจรณาสมดุลในแกน X $(\sum F_x = 0)$
$(T + \Delta T)\sin(\theta + \Delta\theta) = T\cos\theta$

สมการสั้นกว่าแนวแกน Y ตั้งเยอะเนาะ
ทำเหมือนเดิมเลยครับ คูณกระจาย
แตกฟังก์ชันไซน์ ให้ $\Delta\theta$ มีค่าน้อยๆ
ก็จะได้สมการใหม่เป็น

กำจัดตัวที่มีค่าน้อยๆ คือกำจัด $(\Delta T)(\Delta\theta)\sin\theta$
เพราะเมื่อเทียบกับ $T(\Delta\theta)\sin\theta$ และ $(\Delta T)\cos\theta$
แล้ว $(\Delta T)(\Delta\theta)\sin\theta$ มีค่าน้อยจนไม่ต้องสน
สมการจึงเหลือแค่

หาร $\Delta\theta$ แล้วเทคลิมิต $\Delta\theta \to 0$ ได้

สมการนี้ชี้ว่า แรงตึงเชือกในแนวนอน
มีค่าเท่ากันตลอดทั้งเส้น และเนื่องจาก
$T\cos\theta = T_0$ (ยังจำได้มั้ย?)
จึงทำให้ $d/d\theta(T_0 dy/dx) = \mu g (ds/d\theta)$ เป็น

ใช้กฎลูกโซ่เข้าช่วย และย้ายข้าง ได้

และจากสมการหาความยาวเส้นกราฟ
คือ $ds/dx = \sqrt{1+(dy/dx)^2}$ จึงได้ว่า

ถึงตอนนี้ กำหนดให้ $Y = dy/dx$ จะได้ว่า

แก้สมการนี้ด้วยการปริพันธ์
(ยาก+ยาว = ไม่พิมพ์ลงให้ละ อิอิ)
ท้ายที่สุด จะได้ออกมาว่า

(อยากได้พิสูจน์ฉบับเต็ม เมลมาขอได้ครับ)

จัดรูปสมการให้สวยงาม ก็จะได้ว่า
สมการรูปร่างเส้นเชือก $(x,y)$ คือ

สำหรับฟังก์ชัน $y = \cosh x$
เป็นหนึ่งในไฮเปอร์โบลิกฟังก์ชัน
ที่มีลักษณะคล้ายพาราโบลามาก
กำหนดโดยเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

ตอนแรกผมไม่ได้คิดถึง $\cosh x$ เลย
แต่พอได้อ่านพิสูจน์ใหม่ ก็เห็นด้วยครับ

และพอเทียบกับผลการทดลองที่มีอยู่
ก็พบว่าแทบไม่คลาดเคลื่อนเลยครับ

(อึ่ม… ไม่รู้จะจบยังไงแฮะ)
เอาเป็นว่า ขอจบตอนนี้เลยละกันครับ
หวังว่าจะได้รับความรู้ไปบ้างนะครับ ^^

อ้างอิง:
Meriam & Kraige , Engineering Mechanics (Statics) Fifth Edition , John Wiley