สืบเนื่องจาก blog ตอนที่แล้ว มีหลายท่านท้วงเข้ามาว่าโจทย์ผิดหรือเปล่า ซึ่งผมได้ไปเช็คกับคำถามอีกรอบแล้วก็พบว่า โจทย์ที่ได้รับมานั้นไม่ผิดจริงๆ แต่ก็น่าสงสัยอย่างมากว่าคนตั้งโจทย์นั่นแหละที่เขียนเลขตกหล่นไปเอง

จริงๆ ตอนก่อนก็แอบเกรียนไปหน่อย คือรู้แหละว่าตั้งใจจะให้พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ งั้นมาไถ่บาปกับคำถามที่ว่า $1000^{1000}$ กับ $1001^{999}$ (เวอร์ชั่นแก้คำผิดแล้ว) อะไรมากกว่ากันอีกรอบดีกว่า 😉

---

ก่อนอื่น สังเกตว่า

\[1000^{1000} = 1000 \times 1000^{999}\]

หรือพูดให้เข้าใจง่ายก็คือ เรามี $1000^{999}$ อยู่ 1000 พจน์นั่นเอง

ต่อมาเราต้องการจัดรูปของ $1001^{999}$ ให้กลายเป็น $1000^{999}$ ซึ่งก็ง่ายๆ โดนใช้การกระจายทวินามเข้าช่วย

\[\begin{align} 1001^{999} &= (1000 + 1)^{999} \\ &= \sum_{i=0}^{999} \binom{999}{i} 1000^{999-i} 1^i \\ &= \sum_{i=0}^{999} \binom{999}{i} 1000^{999-i} \\ &= 1000^{999} + \binom{999}{1} 1000^{998} + \binom{999}{2} 1000^{997} + \cdots + 1 \end{align}\]

จะเห็นว่า พอกระจาย $1001^{999}$ ออกมาแล้ว จะยังคงมี 1000 พจน์เช่นกัน (index ไล่จาก $0$ จนถึง $999$) มันจึงสามารถนำไปจับคู่กับ $1000\times1000^{999}$ ข้างบนได้ ดังนี้

\[\begin{array}{r|rr} i & 1000^{1000} & 1001^{999} \\ \hline 0 & 1000^0 \times 1000^{999} & \binom{999}{0} 1000^{999} \\ 1 & 1000^1 \times 1000^{998} & \binom{999}{1} 1000^{998} \\ 2 & 1000^2 \times 1000^{997} & \binom{999}{2} 1000^{997} \\ 3 & 1000^3 \times 1000^{996} & \binom{999}{3} 1000^{996} \\ \vdots & \\ i & 1000^i \times 1000^{999-i} & \binom{999}{i} 1000^{999-i} \\ \vdots & \\ 999 & 1000^{999} \times 1000^0 & \binom{999}{999} 1000^{0} \\ \end{array}\]

ตอนนี้ก็จะลดรูปปัญหากลายเป็นคำถามที่ว่า $1000^i$ กับ $\binom{999}{i}$ อะไรมีค่ามากกว่ากัน

สังเกตว่า

\[\begin{align} P(n,r) &= \frac{n!}{(n-r)!} \\ C(n,r) &= \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{P(n,r)}{r!} \end{align}\]

จะเห็นว่า $P(n,r)$ มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ $\binom{n}{r}$ เสมอ

ถึงตรงนี้ก็เห็นชัดแล้วว่า

\[\begin{align} 1000^0 &= P(999,0) = \frac{999!}{999!} = 1 \\ 1000^1 &> P(999,1) = \frac{999!}{998!} = 999 \\ 1000^2 &> P(999,2) = \frac{999!}{997!} = 999 \times 998 \\ 1000^3 &> P(999,3) = \frac{999!}{996!} = 999 \times 998 \times 997 \\ \vdots \\ 1000^i &\ge P(999,i) = \frac{999!}{(999-i)!} = 999 \times 998 \times \cdots \times (999-i) \end{align}\]

ดังนั้น

\[\forall i: \left[ 1000^i \ge P(999, i) \ge \binom{999}{i} \right]\]

เพราะฉะนั้น

\[1000^{1000} = \sum_0^{999} 1000^i \times 1000^{999-i} \ge \sum_0^{999} \binom{999}{i} 1000^{999-i} = 1001^{999}\]

แต่เนื่องจาก มีบาง $i$ ที่ $1000^i$ ที่มีค่ามากกว่า $\binom{999}{i}$ ดังนั้น

\[1000^{1000} > 1001^{999}\]

จบการพิสูจน์ครับ

Revision notes:

• September 14, 2021:

  อัพเดทสัญลักษณ์ combination และแก้ไขสัญลักษณ์คณิตศาสตร์ที่ผิดเล็กน้อย